Question

【題目】已知.

（1）當時，不等式恒成立，求m的取值范圍；

（2）求證：當時，.

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析

【解析】

（1）依題意，當x≥0時，恒成立.

設，則x≥0時，k(x)≥0恒成立，

若，則x>0時，，k(x)在[0，+∞)上為增函數.

于是，x≥0時，k(x)≥k(0)=0.因此，符合要求.

若，則2m>1，0<x<ln(2m)時，k'(x)<0，k(x)在上為減函數.

于是，.因此，不符合要求.

所以m的取值范圍為.

（2）解法一：設，則.

當x<ln4時，g'(x)<0；當x>ln4時，g'(x)>0

所以g(x)在(-∞，ln4]上為減函數，在[ln4，+∞)上為增函數.

所以g(x)≥g(ln4)=4-4ln4.

由此可得，g(x)=ex-4x≥4-4ln4，即，

當且僅當x=ln4時等號成立.

所以x>0時，，

當且僅當x=ln4時等號成立.

設h(x)=4x-4lnx-4，則.

當0<x<1時，h'(x)<0；當x>1時，h'(x)>0.

所以h(x)在(0，1]上為減函數，在[1，+∞)上為增函數.

所以h(x)≥h（1）=0，即，

當且僅當x=1時等號成立.故.

由于上述兩個等號不同時成立，因此.

所以當x>0時，f(x)>4lnx+8-8ln2.

解法二：設，

則.

由g"(x)=，知g'(x)為增函數.

又g'（1）=e-4<0，g'（2）=e2-2>0，因此，g'(x)有唯一零點，設為x0.

則x0∈(1，2)，且0<x<x0時，g'(x)<0；x>x0時，g'(x)>0

所以g(x)在區間(0，x0]上為減函數，在區間[x0，+∞)上為增函數.

所以g(x)有最小值.

又由，知，

兩邊取對數，得.

所以

.

所以當x>0時，g(x)≥g(x0)>0，故當x>0時，.