Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，Q(1，

3

2

)在橢圓C上，A，B為橢圓C的左、右頂點．
（1）求橢圓C的方程：
（2）若P是橢圓上異于A，B的動點，連結AP，PB并延長，分別與右準線l相交于M₁，M2．問是否存在x軸上定點D，使得以M₁M₂為直徑的圓恒過點D？若存在，求點D的坐標：若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點Q的坐標代入橢圓方程，結合橢圓的離心率和a²-c²=b²聯立求解a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）假設存在x軸上定點D，使得以M₁M₂為直徑的圓恒過點D，設出P和D的坐標，求出AP和PB的方程，取x=4得到M₁，M₂的坐標，寫出向量

DM1

和

DM2

的坐標，有數量積等于0列式求出D的坐標．

解答：解：（1）由Q(1，

3

2

)在橢圓上，得

1

a2

+

9

4b2

=1①，
又e=

c

a

=

1

2

，所以a²=4c²=4（a²-b²），
則3a²=4b²，代入①得，a²=4，所以b²=3．
則橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）假設存在x軸上定點D，使得以M₁M₂為直徑的圓恒過點D．
設P（x₀，y₀），D（m，0），
則

x02

4

+

y02

3

=1，得12y02=36-9x02．
kAP=

y0

x0+2

，kPB=

y0

x0-2

，
橢圓右準線為x=4．
所以AP方程為：y=

y0

x0+2

(x+2)，則M1(4，

6y0

x0+2

)．
PB方程為：y=

y0

x0-2

(x-2)，則M2(4，

2y0

x0-2

)．
則

DM1

=(4-m，

6y0

x0+2

)，

DM2

=(4-m，

2y0

x0-2

)．
由

DM1

•

DM2

=0，得(4-m)2+

12y02

x02-4

=0．
即（4-m）²=9，解得m=1或m=7．
所以D（1，0）或（7，0）．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，訓練了平面向量的數量積判斷兩個向量的垂直，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目．