Question

【題目】如圖，在正四棱錐中， ， ， 分別為， 的中點．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅲ）若平面與棱交于點，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】試題分析：

（Ⅰ）設，則為底面正方形中心，連接．因為為正四棱錐，所以平面，所以．又，根據線面垂直的判定定理即可證明結果．（Ⅱ）因為， ， 兩兩互相垂直，如圖建立空間直角坐標系，然后再利用空間向量和法向量，即可求出結果；（Ⅲ）連接．設，其中，則，所以，設平面的法向量為，又，所以即可得，因為平面，所以，據此即可求出結果.

試題解析：

（Ⅰ）設，則為底面正方形中心，連接．

因為為正四棱錐，

所以平面，

所以．

又，且，

所以平面．

（Ⅱ）因為， ， 兩兩互相垂直，如圖建立空間直角坐標系．

∵，∴，

∴，

設，所以， ， ， ， ， ， ．

∴， ．　

∴，

即異面直線與所成角的余弦值為.

（Ⅲ）連接．　

設，其中，則，

所以，

設平面的法向量為，又，所以即

所以，令， ，所以，

因為平面，所以，

即，解得，所以.