Question

【題目】在三棱錐P—ABC中，PB平面ABC，ABBC，AB=PB=2，BC=2，E、G分別為PC、PA的中點.

（1）求證：平面BCG平面PAC；

（2）假設在線段AC上存在一點N，使PNBE，求的值；

（3）在（2）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由，，得平面，即可得到本題的結論；（2）由N為線段AC一點，可設為，得，又由，可確定的取值，從而可得到本題答案；（3）求出平面的法向量，然后套入公式，即可得到本題答案.

（1） 因為平面，平面，所以，

又，，所以平面，則①，

又，為等腰直角三角形，G為斜邊的中點，所以②，

又，所以平面，因平面，

則有平面平面 ；

（2）分別以為軸，建立空間直角坐標系，

那么，因此，，設，那么，

由，得，解得.

因此，因此；

（3）由（2）知，設平面的法向量為，則

，即，

令，得，因此，

設直線與平面所成角為，那么.