Question

如圖，已知兩定點(diǎn)A（-1，0），B（1，0）和定直線l：x=4，動點(diǎn)M在直線l上的射影為N，且．
（Ⅰ）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程并畫草圖；
（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)A的直線n，使得直線n與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，且△PBQ的面積等于？如果存在，請求出直線n的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）用兩點(diǎn)間距離公式分別求，再代入，化簡，即可得動點(diǎn)M的軌跡C的方程，再根據(jù)方程畫出圖形即可．
（Ⅱ）先假設(shè)存在過點(diǎn)A的直線n，使得直線n與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，且△PBQ的面積等于，分斜率存在和斜率不存在兩種情況設(shè)出直線n的方程，與曲線C的方程聯(lián)立，求出△PBQ的面積，讓面積等于，解k，若能解出，則存在，若解不出，則不存在．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則，，代入，得，化簡得，
即得曲線C的方程為，
草圖如圖所示．
（Ⅱ）（i）若直線n的斜率不存在時，此時點(diǎn)，點(diǎn)，△PBQ的面積等于3，不符合；
（ii）若直線n的斜率為k時，直線n的方程設(shè)為y=k（x+1），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立，得，則，，則=，
所以 =，
點(diǎn)B到直線n的距離，
所以△PBQ的面積等于=，解之得：，
故存在直線n為．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓方程的求法，以及存在性問題的解法，做題時要認(rèn)真分析．