Question

如圖，已知兩定點A（1，0），B（4，0），坐標xOy平面內的動點M滿足，
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程并畫出草圖；
（Ⅱ）是否存在過點A的直線n，使得直線n與曲線C相交于P，Q兩點，且△PBQ的面積等于2？如果存在，請求出直線n的方程；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）設M（x，y），
則，
代入得，，
化簡，即得曲線C的方程為x²+y²=4，草圖如圖所示，

（Ⅱ）（ⅰ）若直線n的斜率不存在時，此時點，
△PBQ的面積等于，不符合；
（ⅱ）若直線n的斜率為k時，直線n的方程設為y=k（x-1），
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯立得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
則，
則，
所以，
點B到直線n的距離，
所以△PBQ的面積等于，
解得k=，
故存在直線n為y=（x-1）。