Question

正四面體ABCD的棱長為1，棱AB∥平面α,則正四面體上的所有點在平面α內的射影構成的圖形面積的取值范圍是　　　　.

Answer 1

解析：如圖，當四面體C—ABD繞AB進行旋轉時，當CD垂直于平面α時，此時在α內的射影面積最小，等價于E在CD上移動時，當E為CD中點時，設F為AB中點，EF⊥AB.此時EF為異面直線AB與CD的公垂線，是CD上點的到AB距離最短的點，EF=.∴=×1×=;當CD∥α時，四面體ABCD的射影為A′C′B′D′為正方形，對角A′B′=C′D′=1,此時面積最大.?

∵1為高是最大的，∴S_{A′C′B′D′}=×1×1=.?

∴射影面積的取值范圍為［，］.

答案：［, ］.