Question

2014年巴西世界杯剛結(jié)束，某足球協(xié)會為了調(diào)查球迷對本屆世界杯的了解情況，組織了“世界杯你問我答一百問”活動，該協(xié)會從參加活動的球迷（人數(shù)不少于1000人）中隨機(jī)抽取12名球迷．進(jìn)行世界杯知識問卷測試，測試成績（百分制）以莖葉圖形式表示如右圖所示，根據(jù)主辦方標(biāo)準(zhǔn)．測試成績低于80分的為“偽球迷”，不低于80分的為“真球迷”．
（1）寫出測試成績的中位數(shù)和平均數(shù)，并根據(jù)所求數(shù)據(jù)對參加活動的球迷情況進(jìn)行評估：
（2）將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，若再這批球迷中任選4人進(jìn)行世界杯知識問卷調(diào)查，求至多有1人是“真球迷”的概率．
（3）從抽取的12名球迷中隨機(jī)選取3人，記ξ表示“真球迷”的人數(shù)，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,莖葉圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由莖葉圖能求出測試成績的中位數(shù)和測試成績的平均數(shù)，由此得到參加活動的球迷測試成績的中位數(shù)和測試成績的平均數(shù)都在80分以上．
（2）由莖葉圖得到12名球迷中有8名是真球迷，將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，得這批球迷中真球迷的概率為

2

3

，任選4人進(jìn)行世界杯知識問卷調(diào)查，“真球迷”的個(gè)數(shù)X～B（4，

2

3

），由此能求出至多有1人是“真球迷”的概率．
（3）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（1）由莖葉圖知測試成績的中位數(shù)為：

86+86

2

=86分，
測試成績的平均數(shù)為：

.

x

=

1

12

（51+64+66+78+85+86+86+86+87+87+92+98）=80.5．
由此得到參加活動的球迷測試成績的中位數(shù)和測試成績的平均數(shù)都在80分以上，
達(dá)到

2

3

的球迷是真球迷．
（2）由莖葉圖得到12名球迷中有8名是真球迷，將頻率視為概率，
根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，得這批球迷中真球迷的概率為

2

3

，
任選4人進(jìn)行世界杯知識問卷調(diào)查，“真球迷”的個(gè)數(shù)X～B（4，

2

3

），
∴至多有1人是“真球迷”的概率：
P=P（X=0）+P（X=1）
=

C

0 4

(

1

3

)4+

C

1 4

(

2

3

)(

1

3

)3=

1

9

．
（3）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 3 4

C 3 12

=

1

55

，
P（ξ=1）=

C 1 8 C 2 4

C 3 12

=

12

55

，
P（ξ=2）=

C 2 8 C 1 4

C 3 12

=

28

55

，
P（ξ=3）=

C 3 8

C 3 12

=

14

55

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 55	12 55	28 55	14 55

Eξ=0×

1

55

+1×

12

55

+2×

28

55

+3×

14

55

=2．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一，解題時(shí)要注意莖葉圖的合理運(yùn)用．