Question

已知兩正數a，b滿足a+b=

1

2

，求證：

1

a

+

4

b

≥18．

Answer 1

分析：由已知可得，2a+2b=1，不等式的左邊即(

1

a

+

4

b

)(2a+2b)=2+

2b

a

+

8a

b

+8  使用基本不等式證得不等式成立．

解答：證明：由a+b=

1

2

知，2a+2b=1，
∴

1

a

+

4

b

=(

1

a

+

4

b

)(2a+2b)=2+

2b

a

+

8a

b

+8=10+2(

b

a

+

4a

b

)≥10+2×4=18，…（10分）
當且僅當

b

a

=

4a

b

時取等號，此時a=

1

6

，b=

1

3

．…（12分）

點評：本題主要考查利用基本不等式證明不等式，注意基本不等式的使用條件，并注意檢驗等號成立的條件，屬于中檔題．