Question

（2010•武漢模擬）過雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點F的直線l與雙曲線右支相交于A、B兩點，以線段AB為直徑的圓被右準線截得的劣弧的弧度數為

π

2

，那么雙曲線的離心率e=

2

．

Answer 1

分析：先由以線段AB為直徑的圓被右準線截得的劣弧的弧度數為

π

2

，利用直線與圓相交的幾何性質求出AB中點C到準線的距離，再利用雙曲線第二定義和梯形中位線定理，列方程即可解得離心率

解答：解：設|AB|=2R，C為AB中點，CE⊥DG，AD⊥DG，BG⊥DG，DG為雙曲線的右準線
∵線段AB為直徑的圓被右準線截得的劣弧的弧度數為

π

2

，
∴|CE|=

2

2

R=

1

2

（|AD|+|BG|）
∴|AD|+|BG|=

2

R
∵|AF|=e|AD|，|BF|=e|BG|
∴|AB|=|AF|+|BF|=e（|AD|+|BG|）
∴2R=e×

2

R
∴e=

2

故答案為

2

點評：本題考查了雙曲線的定義及其幾何性質，直線與圓相交的位置關系及其幾何性質，離心率的求法