Question

下列命題：
（1）若不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集非空，則必有a≥1；
（2）函數y=sinxcosx+cos²x最小正周期是2π
（3）函數y=f（a+x）與函數y=f（a-x）的圖象關于直線x=a對稱；
（4）若f（x+a）=f（a-x），則函數y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱．
其中錯誤的命題的序號是

（1）（2）（3）．

（把你認為錯誤的命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：（1）利用絕對值不等式的性質判斷．（2）利用三角函數的圖象和性質判斷．
（3）利用函數圖象的平移關系判斷函數的對稱性．（4）利用函數對稱性的定義進行判斷．

解答：解：（1）根據絕對值不等式的性質可知不等式|x-4|+|x-3|≥1，所以要使|x-4|+|x-3|＜a的解集非空，則必有a＞1，所以（1）錯誤．
（2）函數y=sinxcosx+cos²x=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，所以周期T=

2π

2

=π，所以（2）錯誤．
（3）因為y=f（a-x）=f（a+（-x）），所以設y=F（x）=f（a+x），F（-x）=f（a+（-x）），所以F（x）是偶函數，所以圖象關于y軸對稱，所以（3）錯誤．
（4）根據函數對稱性的公式可知若f（x+a）=f（a-x），則函數y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱，所以（4）正確．
故答案為：（1）（2）（3）．

點評：本題主要考查與函數有關的命題的真假判斷，綜合性較強，要求熟練掌握函數的性質，以及函數性質的綜合應用．