Question

【題目】已知函數f（x）＝lnx﹣ax，a∈R.

（1）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍；

（2）設函數g（x），證明：g（x）有極大值，且極大值小于.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由已知可得，，構造函數，轉化為求解函數與的交點問題，結合函數的單調性即可求解.
（2）結合函數的導數與單調性的關系可證明的極值存在情況，然后結合函數的性質即可求解其范圍.

（1）由f（x）＝lnx﹣ax＝0可得，a，

令h（x），則h′（x），

當x∈（0，e）時，h′（x）>0，h（x）單調遞增，當x∈（e，+∞）時，h′（x）<0，h（x）單調遞減，

∵h（e），

x→0，h（x）→﹣∞，x→+∞，h（x）→0，

∴a；

（2）∵g（x），

∴g′（x），

令I（x）＝1，則I（x）單調遞減，

當x→0時，I（x）→+∞，當x→+∞時，I（x）→﹣∞，

∴I（x）一定存在變號的零點，g（x）存在極大值，

令I（x0）＝10，則g（x）在（0，x0）上單調遞增，在（x0，+∞）上單調遞減，

故極大值g（x0）a，

又∵I（3），

∴x0>3，又g（x0）在（0，+∞）上單調遞減

∴g（x0）<