Question

如圖甲，設正方形的邊長為,點分別在上,并且滿足

,如圖乙,將直角梯形沿折到的位置,使點在

平面上的射影恰好在上．

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）先證（2）

【解析】

試題分析：⑴證明：在圖甲中，易知,從而在圖乙中有，           

因為平面，平面，所以平面

⑵解法1、

如圖,在圖乙中作，垂足為，連接，

由于平面，則，                      

所以平面，則，                      

所以平面與平面所成二面角的平面角，     

圖甲中有，又，則三點共線，     

設的中點為，則，易證，所以，，；

又由，得，            

于是，，                                

在中，，即所求二面角的余弦值為．

解法2、

如圖,在圖乙中作，垂足為，連接，由于平面，則，                                                

所以平面，則，圖甲中有，又，則三點共線，                                                     

設的中點為，則，易證，所以，則；

又由，得，               

于是，，

在中，       

作交于點，則，以點為原點，分別以所在直線為軸，建立如圖丙所示的空間直角坐標系，則、、、，則 

顯然，是平面的一個法向量，           

設是平面的一個法向量，則，即，不防取，則，                                       

設平面與平面所成二面角為，可以看出，為銳角，所以，，所以，

平面與平面, 所成二面角的余弦值為．                                                      

考點：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角．

點評：本題考查線面平行，考查線面角，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于

中檔題．