Question

（2013•江門二模）如圖甲，設正方形ABCD的邊長為3，點E、F分別在AB、CD上，并且滿足AE=2EB，CF=2FD，如圖乙，將直角梯形AEFD沿EF折到A₁EFD₁的位置，使點A₁在平面EBCF上的射影G恰好在BC上．
（1）證明：A₁E∥平面CD₁F；
（2）求平面BEFC與平面A₁EFD₁所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）如圖所示，利用圖甲、乙，求出EF、A₁E、A₁G，作GT∥BE交EF于點T，則TG⊥GC，以點G為原點，分別以GC、GT、GA₁所在直線為x、y、z軸，建立如圖丙所示的空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．

解答：（1）證明：在圖甲中，易知AE∥DF，從而在圖乙中有A₁E∥D₁F，
∵A₁E?平面CD₁F，D₁F?平面CD₁F，∴A₁E∥平面CD₁F．
（2）解：如圖，在圖乙中作GH⊥EF，垂足為H，連接A₁H，由于A₁G⊥平面EBCF，則A₁G⊥EF，∴EF⊥平面A₁GH，則EF⊥A₁H，圖甲中有EF⊥AH，
又GH⊥EF，則A、G、H三點共線，
設CF的中點為M，則MF=1，可證△ABG≌△EMF，
∴BG=MF=1，則AG=

10

；
又由△ABG∽△AHE，得A1H=AH=

AB•AE

AG

=

6

10

，
于是，HG=AG-AH=

4

10

，
在Rt△A₁GH中，A1G=

A1H2-HG2

=

( 6 10 )2-( 4 10 )2

=

2

，
作GT∥BE交EF于點T，則TG⊥GC，
以點G為原點，分別以GC、GT、GA₁所在直線為x、y、z軸，建立如圖丙所示的空間直角坐標系，
則G（0，0，0），E（-1，1，0），F（2，2，0），A1(0，0，

2

)，
則

EF

=(1，3，0)，

EA1

=(-1，1，

2

)，
∴

GA1

=(0，0，

2

)是平面BEFC的一個法向量，
設

n

=(x，y，z)是平面A₁EFD₁的一個法向量，則

n • EF =x+3y=0 n • EA1 =-x+y+ 2 z=0

，
不妨取y=-1，則x=3，z=2

2

，∴

n

=(3，-1，2

2

)．
設平面BEFC與平面A₁EFD₁所成二面角為θ，可以看出，θ為銳角，
∴cosθ=|cos＜

n

，

GA1

＞|=

2 2 × 2

2 × 32+(-1)2+(2 2 )2

=

2

3

，
所以，平面BEFC與平面A₁EFD₁所成二面角的余弦值為

2

3

．

點評：熟練掌握線面平行的判定定理、三角形的相似與全等的判定定理和性質定理、通過建立空間直角坐標系利用法向量的夾角求二面角的方法等知識與方法是解題的關鍵．