Question

已知正四棱錐的側棱長為2

3

，那么當該棱錐體積最大時，它的高為（　　）

• A．1
• B．

  3

• C．2
• D．3

Answer 1

分析：設出底面邊長，求出正四棱錐的高，寫出體積表達式，利用求導求得最大值時，高的值．

解答：解：設底面邊長為a，則高h=

(2 3 )2-( 2 a 2 )2

=

12- a2 2

，
所以體積V=

1

3

a²h=

1

3

12a4- 1 2 a6

，
設y=12a⁴-

1

2

a⁶，則y′=48a³-3a⁵，
y′=48a³-3a⁵=0，
解可得a=4，
且當a＞4時，y′≤0，函數y=12a⁴-

1

2

a⁶，在區間（4，+∞）是減函數；
當0＜a＜4時，y′＞0，函數y=12a⁴-

1

2

a⁶，在區間（0，4）是增函數；
∴當a=4時，函數y=12a⁴-

1

2

a⁶，取得最大值，即此時體積最大，
此時h=

12- a2 2

=2，
故選C．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，正確記憶其體積公式并且能夠靈活的利用導數解決最值問題．