Question

已知正四棱錐的側棱長為1，則其體積的最大值為

4 3

27

．

Answer 1

分析：設出正四棱錐的底面邊長，求出正四棱錐的高，推出體積，利用基本不等式求出體積的最大值．

解答：解：設正四棱錐的底面邊長為：a，
所以正四棱錐的高為：

1-( 2 a 2 )2

=

1- a2 2

．
所以正四棱錐的體積為：V=

1

3

a2

1- a2 2

=

4

3

(1- a2 2 )• a2 4 • a2 4

≤

4

3

•

( 1- a2 2 + a2 4 + a2 4 3 )3

=

4 3

27

．
當且僅當1-

a2

2

=

a2

4

即a=

2 3

3

時，等號成立，此時正四棱錐的體積最大．
故答案為：

4 3

27

．

點評：本題考查正四棱錐的體積求法，不等式求最值的應用，考查計算能力．