Question

已知函數(shù)f(x)＝x³－3ax²＋3x＋1.

(1)設a＝2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

解析　(1)當a＝2時，f(x)＝x³－6x²＋3x＋1，f′(x)＝3(x－2＋)(x－2－)．

當x∈(－∞，2－)時f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－)上單調(diào)增加；

當x∈(2－，2＋)時f′(x)＜0，f(x)在(2－，2＋)上單調(diào)減少；

當x∈(2＋，＋∞)時f′(x)＞0，f(x)在(2＋，＋∞)上單調(diào)增加．

綜上，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，2－)和(2＋，＋∞)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(2－，2＋)．

(2)f′(x)＝3[(x－a)²＋1－a²]．

當1－a²≥0時，f′(x)≥0，f(x)為增函數(shù)，故f(x)無極值點；

當1－a²＜0時，f′(x)＝0有兩個根，

因此a的取值范圍是(，)．