Question

如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數f（x）的定義域內，就有f（a），f（b），f（c）也是某個三角形的三邊長，則稱f（x）為“保三角形函數”．
（1）判斷下列函數是不是“保三角形函數”，并證明你的結論：
①f（x）=

x

；    ②g（x）=sinx （x∈（0，π））．
（2）若函數h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函數，求M的最小值．

Answer 1

分析：（1）任給三角形，設它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設a≤c，b≤c，我們判斷f（a），f（b），f（c）是否滿足任意兩數之和大于第三個數，即任意兩邊之和大于第三邊；
（2）要利用“保三角形函數”的概念，求M的最小值，首先證明當M≥2時，函數h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函數，然后證明當0＜M＜2＜M＜2時，H（X）=LNX （x∈[M，+∞））不是保三角形函數，h（x）=lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函數，從而求出所求．

解答：解：（1）設0＜a≤b≤c，a+b＞c，欲證明

a

+

b

＞

c

，
只需證明 a+b+2

ab

＞c，成立．①是“保三角形函數”；
取 a=

π

2

，b=

5π

6

，c=

5π

6

，而sinb+sinc=sina，②不是“保三角形函數”；
（2）M的最小值為2
（i）首先證明當M≥2時，函數h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函數．
對任意一個三角形三邊長a，b，c∈[M，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，
則h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．
因為a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a-1）（b-1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna+lnb＞lnc．
同理可證明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．
所以lna，lnb，lnc是一個三角形的三邊長．
故函數h（x）=lnx （x∈[M，+∞），M≥2），是保三角形函數…13分
（ii）其次證明當0＜M＜2時，H（X）=LNX （x∈[M，+∞））不是保三角形函數，h（x）=lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函數　
因為0＜M＜2，所以M+M=2M＞M²，所以M，M，M²是某個三角形的三條邊長，
而lnM+lnM=2lnM=lnM²，所以lnM，lnM，lnM²不能為某個三角形的三邊長，所以h（x）=lnx 不是保三角形函數．
所以，當M＜2時，h（x）=lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函數．
綜上所述：M的最小值為2

點評：要想判斷f（x）為“保三角形函數”，要經過嚴密的論證說明f（x）滿足“保三角形函數”的概念，但要判斷f（x）不為“保三角形函數”，僅須要舉出一個反例即可，屬于創新題．