Question

函數f（x）=x³-6x²的定義域為[-2，t]，設f（-2）=m，f（t）=n，f′（x）是f（x）的導數．
（Ⅰ）求證：n≥m；
（Ⅱ）確定t的范圍使函數f（x）在[-2，t]上是單調函數；
（Ⅲ）求證：對于任意的t＞-2，總存在x∈（-2，t），滿足；并確定這樣的x的個數．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設h（t）=n-m代入求出得到h（t）≥0得證；
（Ⅱ）求出f′（x）=0時x的值，在區間[-2，t]上討論函數的增減性，得到函數的單調區間；
（Ⅲ）n-m=（t+2）（t-4）²，得到，f′（x）=3x²-12，我們只要證明方程3x²-12x-（t-4）²=0在（-2，t）內有解即可，設g（x）=3x²-12x-（t-4）²，得到g（-2）•g（t）=-2（t+2）²（t-4）（t-10）．討論t的值來決定方程解的個數即可．
解答：解：（Ⅰ）設h（t）=n-m，則h（t）=t³-6t²+32=（t+2）（t-4）²≥0，所以n≥m．
（Ⅱ）f^′（x）=3x²-12，令f^′（x）=0，得x₁=0，x₂=4．
當t∈（-2，0）時，x∈[-2，t]時，f′（x）＞0，f（x）是遞增函數；當t=0時，顯然f（x）在[-2，0]也是遞增函數．
∵x=0是f（x）的一個極值點，∴當t＞0時，函數f（x）在[-2，t]上不是單調函數．∴當t∈（-2，0]時，函數f（x）在[-2，t]上是單調函數．
（Ⅲ）由（1），知n-m=（t+2）（t-4）²，∴．
又∵f′（x）=3x²-12，我們只要證明方程3x²-12x-（t-4）²=0在（-2，t）內有解即可．
記g（x）=3x²-12x-（t-4）²，則g（-2）=36-（t-4）²=-（t+2）（t-10），g（t）=3t²-12t-（t-4）²=2（t+2）（t-4），g（-2）=36-（t-4）²＞0，g（t）=3t²-12t-（t-4）²＞0，
∴g（-2）•g（t）=-2（t+2）²（t-4）（t-10）．
①當t∈（-2，4）∪（10，+∞）時，g（-2）•g（t）=-2（t+2）²（t-4）（t-10）＜0，方程（*）在（-2，t）內有且只有一解；
②當t∈（4，10）時，g（-2）=-（t+2）（t-10）＞0，g（t）=2（t+2）（t-4）＞0，又g（2）=-12-（t-4）²＜0，∴方程（*）在（-2，2），（2，t）內分別各有一解，方程（*）在（-2，t）內兩解；
③當t=4時，方程g（x）=3x²-12x=0在（-2，4）內有且只有一解x=0；
④當t=10時，方程g（x）=3x²-12x-36=3（x+2）（x-6）=0在（-2，10）內有且只有一解x=6．
綜上，對于任意的t＞-2，總存在x∈（-2，t），滿足．
當t∈（-2，4]∪[10，+∞）時，滿足，x∈（-2，t）的x有且只有一個；
當t∈（4，10）時，滿足，x∈（-2，t）的x恰有兩個．
點評：考查學生利用導數來求閉區間上函數最值的能力．利用導數研究函數的單調性的能力，會確定方程解的個數．