Question

設f（x）與g（x）是定義在同一區間[a，b]上的兩個函數，若對任意x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱f（x）和g（x）在[a，b]上是“緊密函數”．若f（x）=x²-3x+2與g（x）=mx-1在[1，2]上是“緊密函數”，則m的取值范圍是（　　）

A．[0，1]

B．[2，3]

C．[1，2]

D．[1，3]

Answer 1

分析：根據“緊密函數”的定義列出絕對值不等式|x²-3x+2-（mx-1）|≤1，可得x+

2

x

-3≤m≤x+

4

x

-3在x∈[1，2]上成立，令F（x）=x+

2

x

-3，G（x）=x+

4

x

-3，x∈[1，2]，從而轉化為F（x）_max≤m≤g（x）_min，可求

解答：解：因為f（x）與g（x）在[a，b]上是“緊密函數”，
則|f（x）-g（x）|≤1即|x²-3x+2-（mx-1）|≤1在[1，2]上成立
即|x²-（3+m）x+3|≤1在[1，2]上成立
化簡得-1≤x²-（3+m）x+3≤1在[1，2]上成立
∴

x2+2

x

≤m+3≤

x2+4

x

即x+

2

x

-3≤m≤x+

4

x

-3在x∈[1，2]上成立
令F（x）=x+

2

x

-3，G（x）=x+

4

x

-3，x∈[1，2]，
則F（x）=x+

2

x

-3在[1，

2

]上單調遞減，[

2

，2]上單調遞增，F（x）_max=0
G（x）=x+

4

x

-3在[1，2]上單調遞減，G（x）_min=G（2）=1
∴0≤m≤1
故選A

點評：本題考查學生會根據題中新定義的概念列出不等式，要求學生會解絕對值不等式，由不等式進行轉化為求解函數在閉區間上的最值，解答本題的關鍵是函數單調性的應用