Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC=2，過AD的平面分別交PB，PC于M，N兩點．

（1）求證：MN∥BC；
（2）若M，N分別為PB，PC的中點，
①求證：PB⊥DN；
②求二面角P﹣DN﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為底面ABCD為直角梯形，所以BC∥AD．

因為BC平面ADNM，AD平面ADNM，

所以BC∥平面ADNM．

因為BC平面PBC，平面PBC∩平面ADNM=MN，

所以MN∥BC．

（2）解：①因為M，N分別為PB，PC的中點，PA=AB，

所以PB⊥MA．

因為∠BAD=90°，所以DA⊥AB．

因為PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA．

因為PA∩AB=A，所以DA⊥平面PAB．所以PB⊥DA．

因為AM∩DA=A，所以PB⊥平面ADNM，

因為DN平面ADNM，所以PB⊥DN．

解：②如圖，以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz．

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

由（2）知，PB⊥平面ADNM，所以平面ADNM的法向量為 =（﹣2，0，2）．

設平面PDN的法向量為 =（x，y，z），

因為 ， ，

所以 ．

令z=2，則y=2，x=1．所以 =（1，2，2），

所以cos＜ ＞= = = ．

所以二面角P﹣DN﹣A的余弦值為

【解析】（1）推導出BC∥AD，從而BC∥平面ADNM，由此能證明MN∥BC．（2）①推導出PB⊥MA，DA⊥AB，從而DA⊥PA．再由PB⊥DA，得PB⊥平面ADNM，由此能證明PB⊥DN．②以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz利用向量法能求出二面角P﹣DN﹣A的余弦值．
【考點精析】關于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關系，需要了解相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能得出正確答案．