Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4AD=CD=2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖所示．
（1）求證：BC⊥平面ACD
（2）求BD與平面ABC所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析：（1）法一：由題設條件及圖形，取AC中點O，連接DO，可根據勾股定理證明AC⊥BC，由線面垂直的性質證明DO⊥BC，再有線面垂直的判定定理證明線面垂直即可；
法二：觀察題設條件發現，本題可以借助面面平行的性質定理證明線面垂直，只須證明AC⊥BC，易證；
（2）根據題設條件及圖形，作DH⊥AC于H，連接HB，可證得∴∠DBH即為BD與平面ABC所成角θ，在三角形中求值即可．

解答：解：（1）法一：由于AC=BC=2

2

，從而AC²+BC²=AB²故AC⊥BC，
取AC中點O，連接DO，則DO⊥AC，
又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，從而DO⊥平面ABC，
∴DO⊥BC，又DO∩AC=O，
∴BC⊥平面ACD
法二：由于AC=BC=2

2

，從而AC²+BC²=AB²故AC⊥BC，
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，從而得BC⊥平面ACD
（2）作DH⊥AC于H，連接HB，∵平面ADC⊥平面ABC，且DH?平面ACD，
∴DH⊥平面ABC，
∴∠DBH即為BD與平面ABC所成角θ
∴sinθ=sin∠DBH=

DH

DB

=

2

2 3

=

6

6

點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角，本題在證明線面垂直時用了兩種方法，從兩種方法的證明過程看，在做題時根據題設條件及相應背景選擇合適的方法對簡化解題很有幫助，此種判斷能力源于對此類題各種解法的了解，只有了解的全面才有能力鑒別出那種方法是簡單的．求線面角時要注意做題的步驟：作角，證角，求角，不要忘記證明所做的角即是所求的角，這是一個易失分點．