Question

    如下圖，矩形ABCD與ADQP所在平面垂直，將矩形ADQP沿PD對折，使得翻折后點Q落在BC上，設AB=1，PA=h，AD=y.

    (1)試求y關于h的函數解析式；

    (2)當y取最小值時，指出點Q的位置，并求出此時AD與平面PDQ所成的角；

    (3)在條件(2)下，求三棱錐P—ADQ內切球的半徑.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：(1)顯然h＞1，連接AQ，     ∵平面ABCD⊥平面ADQP,PA⊥AD，     ∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ,     ∴AQ⊥DQ,AQ=y2－h2.     ∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,,     ∴,即.     ∴.     (2)y==     =+≥2,     當且僅當,即h=時，等號成立.     此時CQ=1,即Q為BC的中點，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ,PQ是其交線，則過A作AE⊥平面PDQ,∴∠ADE就是AD與平面PDQ所成的角，由已知得AQ=,PQ=AD=2,∴AE=1,sinADE=,∠ADE=30°.     (3)設三棱錐P－ADQ的內切球半徑為r,     則(S△PAD+S△PAQ+S△PDQ+S△ADQ)·r=VP－ADQ .     ∵VP－ADQ=S△ADQ·PA=,S△PAQ=1,     S△PAD=,S△QAD=1,S△PDQ=,     ∴r=.