Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，點E為PC的中點，EF⊥PB，垂足為F點．

（1）求證：PA∥平面EDB；
（2）求證：PB⊥平面EFD；
（3）求異面直線BE與PA所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，以點D為坐標原點，DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，

建立空間直角坐標系，得以下各點坐標：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

C（0，2，0），P（0，0，2）…（1分）

連接AC，AC交BD于點G，連接EG．∵底面ABCD是正方形，∴G為AC的中點．G點坐標為（1，1，0）．

又E為PC的中點，E點坐標為（0，1，1），

∴ =（2，0，﹣2）， =（1，0，﹣1）

∴ =2

∴PA∥EG

∵EG平面EDB，PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB

（2）證明：∵ =（2，2，﹣2）， =（0，1，1）

∴ =0

∴PB⊥DE

又∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，

∴PB⊥平面EFD．

（3）解：∵ =（﹣2，﹣1，1）， =（2，0，﹣2），

∴|cos＜ ， ＞|=| |= ，

∴異面直線BE與PA所成角的大小為30°．

【解析】（1）以點D為坐標原點，DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，連接AC，AC交BD于點G，連接EG．分別求出PA，EG的方向向量，易判斷PA與EG平行，進而由線面平行的判定定理得到答案．（2）分別求出DE與PB的方向向量，由它們的數量積為0，易得DE⊥PB，再由EF⊥PB結合線面垂直的判定定理即可得到答案．（3）求出 =（﹣2，﹣1，1）， =（2，0，﹣2），即可求異面直線BE與PA所成角的大小．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用異面直線及其所成的角和直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．