Question

投資生產某種產品，并用廣告方式促銷，已知生產這種產品的年固定投資為10萬元，每生產1萬件產品還需投入16萬元，又知年銷量W（萬件）與廣告費x（萬元）之間的函數關系為W=k-

1

x

（x＞0），且已知投入廣告費1萬元時，年銷量為2萬件產品．預計此種產品年銷售收入M（萬元）等于年成本（萬元）（年成本中不含廣告費用）的150%與年廣告費用（萬元）的50%的和．
（1）試將年利潤y（萬元）表示為年廣告費x（萬元）的函數；
（2）當年廣告費為多少萬元時，年利潤最大？最大年利潤是多少萬元？

Answer 1

分析：（1）由已知中年銷量W（萬件）與廣告費x（萬元）之間的函數關系為W=k-

1

x

（x＞0），投入廣告費1萬元時，年銷量為2萬件產品，代入可以求出k值，進而得到W的表達式，進而求出結合年銷售收入，結合年成本為10+16w+x，根據利潤=收入-成本，即可得到年利潤y（萬元）表示為年廣告費x（萬元）的函數；
（2）根據（1）中得到的函數解析式，根據基本不等式，易得到年廣告費為多少萬元時，年利潤最大及對應的最大年利潤是多少萬元．

解答：解：（1）∵W=k-

1

x

 （x＞0），且投入廣告費1萬元時，年銷量為2萬件產品∴k=3，∴W=3-

1

x

 …（2分）
年銷售收入M=

3

2

(10+16w)+

1

2

x，年成本為10+16w+x 

∴y= 3 2 (10+16w)+ 1 2 x-[(10+16w)+x]   = 1 2 (10+16w-x)

 …（4分）
∴y=

1

2

[58-(

16

x

+x)] …（8分）
（2）y=

1

2

[58-(

16

x

+x)]≤

1

2

(58-2

16 x •x

)=25，…（12分）
當且僅當

16

x

=x，即x=4時，等號成立…（14分）
所以當x=4時，y_max=25 …（15分）
答：當年廣告費為4萬元時，年利潤最大，最大年利潤是25萬元．…（16分）

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，其中根據已知條件分別計算年銷售收入的表達式工，及年成本的表達式，進而根據利潤=收入-成本，得到年利潤的表達式是解答本題的關鍵．