Question

某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y (單位：千克)與銷售價格 (單位：元/千克)滿足關系式y＝＋10(x－6)²，其中3＜x＜6，a為常數．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若該商品的成品為3元/千克, 試確定銷售價格x的值, 使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．

Answer 1

(1) a＝2 (2) 當銷售價格x＝4時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42.

解析試題分析：解：（1）由題設知x＝5時y＝11，則11＝＋10(5－6)²，解得a＝2. 3分
（2）由（1）知該商品每日的銷售量y＝＋10(x－6) ²，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為
f(x)＝(x－3) [＋10(x－6) ²]＝2＋10(x－3) (x－6) ²，3＜x＜6.       6分
對函數f(x)求導，得f ′(x)＝10[(x－6) ²＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
令f ′(x)＝0及3＜x＜6，解得x＝4．                                 10分
當3＜x＜4時，f ′(x)＞0，當4＜x＜6時，f ′(x)＜0，于是有函數f(x)在(3，4)上遞增，在(4，6)上遞減，所以當x＝4時函數f(x)取得最大值f(4)＝42.             13分
答：當銷售價格x＝4時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42.
考點：函數的模型的運用
點評：解決的關鍵是對于已知中的利潤函數的 準確表示，然后借助于導數的知識來得到最值，屬于基礎題。