【題目】為評估設備
生產某種零件的性能，從設備生產零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：
經計算，樣本的平均值
，標準差
，以頻率值作為概率的估計值.
（1）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為
，并根據以下不等式進行評判（
表示相應事件的概率）；①
；②
；③
，評判規則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備的性能等級.
（2）將直徑小于等于
或直徑大于
的零件認為是次品.
（ⅰ）若從設備的生產流水線上隨意抽取
件零件，求恰有一件次品的概率；
（ⅱ）若從樣本中隨意抽取件零件，計算其中次品個數
的分布列和數學期望
.
【答案】（1）該設備
的性能為丙級別；（2）（ⅰ）
；（ⅱ）分布列見解析，
.
【解析】
（1）利用條件，根據表格中的數據驗證隨機變量
是否滿足①②③中的不等式，即可得出結論；
（2）（i）計算出從設備的生產流水線上任取一件為次品的概率，然后利用獨立重復試驗的概率公式可計算出結果；
（ii）由題意得出隨機變量
的可能取值，根據超幾何分布的知識得出其分布列，由此可計算出隨機變量的數學期望值.
（1）由題意知道：
，
，
，
，
，
.
所以由圖表知道：
，
，
所以該設備的性能為丙級別；
（2）由圖表知道：直徑小于或等于
的零件有
件，大于
的零件有
件，共計
件.
（ⅰ）從設備的生產流水線上任取一件，取到次品的概率為
，
所以恰有一件次品的概率為
；
（ⅱ）從
件樣品中任意抽取件，次品數可能取值為
、
、，
，
，
.
所以，隨機變量的分布列為
|
|
|
|
|
|
|
|
故
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某地區某種昆蟲產卵數和溫度有關.現收集了一只該品種昆蟲的產卵數
（個）和溫度
（
）的7組觀測數據，其散點圖如所示：
根據散點圖，結合函數知識，可以發現產卵數和溫度可用方程
來擬合，令
，結合樣本數據可知
與溫度可用線性回歸方程來擬合．根據收集到的數據，計算得到如下值：
|
|
|
|
|
|
27 | 74 |
| 182 |
|
|
表中
，
．
（1）求和溫度的回歸方程（回歸系數結果精確到
）；
（2）求產卵數關于溫度的回歸方程；若該地區一段時間內的氣溫在
之間（包括
與
），估計該品種一只昆蟲的產卵數的范圍.（參考數據：
，
，
，
，
．）
附：對于一組數據
，
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD，現計劃在AC和BD路邊各修建一個物流中心E和F，為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF，設
Ⅰ
為減少對周邊區域的影響，試確定E，F的位置，使
與
的面積之和最小；
Ⅱ為節省建設成本，求使
的值最小時AE和BF的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
為橢圓
的左頂點，過的直線
交拋物線
于
、
兩點，是
的中點.
（1）求證：點的橫坐標是定值，并求出該定值；
（2）若直線
過點，且傾斜角和直線的傾斜角互補，交橢圓于
、
兩點，求
的值，使得
的面積最大.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（題文）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形EDCF是正方形，
．
(1)證明：
；
(2)已知四邊形ABCD是等腰梯形，且
，求五面體ABCDEF的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
.
（1）若
，求直線以及曲線的直角坐標方程；
（2）若直線與曲線交于
兩點，且
，求直線的斜率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，函數
.
（1）若
，證明：函數
在區間
上是單調增函數；
（2）求函數在區間
上的最大值；
（3）若函數
的圖像過原點，且的導數
，當
時，函數過點
的切線至少有2條，求實數
的值.
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