Question

【題目】已知直線，，是的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，線段的中垂線交于點(diǎn)，的軌跡為.

(1)求軌跡的方程；

(2)過(guò)且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交曲線于兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓與直線相切，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

分析：（1）由拋物線的定義知P點(diǎn)軌跡是拋物線，方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦參數(shù)可得；

（2）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，并整理得 ，由韋達(dá)定理得，利用拋物線的定義求出弦長(zhǎng)AB，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)到切線的距離等于半徑可求得．

詳解：（1）依題意可得,即到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，方程為

（2）依題意設(shè)直線的方程為，

與聯(lián)立，并整理得

，

由拋物線的定義知，

線段的中點(diǎn)即

因?yàn)橐跃�段為直徑的圓與直線相切，所以

解得，

所以直線的方程為