Question

【題目】已知函數f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若函數f（x）在R上是增函數，求實數a的取值范圍；
（2）求所有的實數a，使得對任意x∈[1，2]時，函數f（x）的圖象恒在函數g（x）=2x+1圖象的下方；
（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得關于x的方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數根，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：

由f（x）在R上是增函數，則 即﹣2≤a≤2，則a范圍為﹣2≤a≤2；

（2）解：由題意得對任意的實數x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，

即x|x﹣a|＜1，當x∈[1，2]恒成立，即 ， ， ，故只要 且 在x∈[1，2]上恒成立即可，

在x∈[1，2]時，只要 的最大值小于a且 的最小值大于a即可，

而當x∈[1，2]時， ， 為增函數， ；

當x∈[1，2]時， ， 為增函數， ，

所以 ；

（3）解：當﹣2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數，則關于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實數根；

則當a∈（2，4]時，由 得x≥a時，f（x）=x2+（2﹣a）x對稱軸 ，

則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數，此時f（x）的值域為[f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a時，f（x）=﹣x2+（2+a）x對稱軸 ，

則f（x）在 為增函數，此時f（x）的值域為 ，f（x）在 為減函數，此時f（x）的值域為 ；

由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個不相等的實根，則 ，

即存在a∈（2，4]，使得 即可，令 ，

只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函數， ，

故實數t的取值范圍為 ；（15分）

同理可求當a∈[﹣4，﹣2）時，t的取值范圍為 ；

綜上所述，實數t的取值范圍為 ．

【解析】（1）由題意知f（x）在R上是增函數，則 即﹣2≤a≤2，則a范圍．（2）由題意得對任意的實數x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即 ， ， ，故只要 且 在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]時，只要 的最大值小于a且 的最小值大于a即可．由此可知答案．（3）當﹣2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數，則關于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實數根存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個不相等的實根，則 ，即存在a∈（2，4]，使得 即可，由此可證出實數t的取值范圍為 ．