Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx+3（a，b∈R），若函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，則a²+b²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為不等式組，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=x³-ax²+bx+3（a，b∈R），
∴f′（x）=3x²-2ax+b，
若函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
則f′（x）=3x²-2ax+b≤0，在[0，1]上單調(diào)遞減，
則

f′(0)≤0 f′(1)≤0

，即

b≤0 3-2a+b≤0

，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則a²+b²的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
由圖象可知O到直線3-2a+b=0的距離d=

|3|

22+1

=

3

5

，
則a²+b²的最小值為d 2=

9

5

，
故答案為：

9

5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的求解，以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．