Question

在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面ABC為直角三角形，∠BAC=

π

2

，AB=AC=AA₁=1．已知G與E分別為A₁B₁和CC₁的中點，D與F分別為線段AC和AB上的動點（不包括端點）．若GD⊥EF，則線段DF的長度的最小值為

 

．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：建立直角坐標系，以A為坐標原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，可得F（t₁，0，0）（0＜t₁＜1），E(0，1，

1

2

)，G(

1

2

，0，1)，D（0，t₂，0）（0＜t₂＜1）．可得

EF

，

GD

．利用

GD

⊥

EF

F，可得

GD

•

EF

=0，由此推出 0＜t₂＜

1

2

．再利用向量的模的計算公式和二次函數的單調性即可得出．

解答： 解：建立直角坐標系，以A為坐標原點，AB為x軸，AC為y軸，AA₁為z軸，
則F（t₁，0，0）（0＜t₁＜1），E(0，1，

1

2

)，G(

1

2

，0，1)，D（0，t₂，0）（0＜t₂＜1）．
∴

EF

=(t1，-1，-

1

2

)，

GD

=(-

1

2

，t2，-1)．
∵GD⊥EF，∴t₁+2t₂=1，由此推出 0＜t₂＜

1

2

．
又

DF

=(t1，-t2，0)，|

DF

|=

t12+t22

=

5t22-4t2+1

=

5(t2- 2 5 )2+ 1 5

，
∴當t₂=

2

5

時，有 |

DF

|min=

5

5

．
故答案為：

5

5

點評：本題考查了通過建立空間直角坐標系利用向量的運算及模的計算公式和二次函數的單調性解決問題，考查了推理能力和空間想象能力、計算能力，屬于難題．