Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點．
（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點．若直線l繞點F任意轉動，值有|OA|²+|OB|²＜|AB|²，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M，N為短軸的兩個三等分點，因為△MNF為正三角形，所以|OF|=

3

2

|MN|，由此能夠推導出橢圓方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（ⅰ）當直線AB與x軸重合時，由題意知恒有|OA|²+|OB|²＜|AB|²．
（ⅱ）當直線AB不與x軸重合時，設直線AB的方程為：x=my+1，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，
由題設條件能夠推導出

OA

•

OB

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂＜0恒成立．由此入手能夠推導出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設M，N為短軸的兩個三等分點，
因為△MNF為正三角形，所以|OF|=

3

2

|MN|，
即1=

3

2

•

2b

3

，解得b=

3

.a²=b²+1=4，因此，橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1.
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（ⅰ）當直線AB與x軸重合時，
|OA|²+|OB|²=2a²，|AB|²=4a²（a²＞1），
因此，恒有|OA|²+|OB|²＜|AB|²．
（ⅱ）當直線AB不與x軸重合時，
設直線AB的方程為：x=my+1，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，
整理得（a²+b²m²）y²+2b²my+b²-a²b²=0，
所以y1+y2=

2b2m

a2+b2m2

，y1y2=

b2-a2b2

a2+b2m2

因為恒有|OA|²+|OB|²＜|AB|²，所以∠AOB恒為鈍角．
即

OA

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2＜0恒成立．
x₁x₂+y₁y₂=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=

(m2+1)(b2-a2b2)

a2+b2m2

-

2b2m2

a2+b2m2

+1
=

-m2a2b2+b2-a2b2+a2

a2+b2m2

＜0.
又a²+b²m²＞0，所以-m²a²b²+b²-a²b²+a²＜0對m∈R恒成立，
即a²b²m²＞a²-a²b²+b²對m∈R恒成立．
當m∈R時，a²b²m²最小值為0，所以a²-a²b²+b²＜0．
a²＜a²b²-b²，a²＜（a²-1）b²=b⁴，
因為a＞0，b＞0，所以a＜b²，即a²-a-1＞0，
解得a＞

1+ 5

2

或a＜

1- 5

2

（舍去），即a＞

1+ 5

2

，
綜合（i）（ii），a的取值范圍為（

1+ 5

2

，+∞）．

點評：本題主要考查直線與橢圓的位置關系，不等式的解法等基本知識，考查運算能力和綜合解題能力．解題時要注意運算能力的培養．