Question

四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a.
(1)求該四面體的體積的最大值；
(2)當四面體的體積最大時，求其表面積．

Answer 1

（1）a³（2）a²

(1)如圖，在四面體ABCD中，設AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中點為P，BC的中點為E，連結BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，

∴V_A－BCD＝V_A－BPC＋V_D－BPC＝·S_△BPC·AP＋S_△BPC·PD＝·S_△BPC·AD＝··a≤·＝a³(當且僅當x＝a時取等號)．
∴該四面體的體積的最大值為a³.
(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是邊長為a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰長為a，底邊長為a，
∴S_表＝2×a²＋2××a×＝a²＋a×＝a²＋＝a².