Question

已知拋物線：．過點的直線交于兩點．拋物線在點處的切線與在點處的切線交于點．

(Ⅰ)若直線的斜率為1，求；
(Ⅱ)求面積的最小值．

Answer 1

（1）；（2）最小值為2.

解析試題分析：本題主要考查直線與拋物線的位置關系、三角形面積公式等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力.第一問，由已知得出直線l的方程，與拋物線聯立，得出兩點的坐標，然后利用兩點間距離公式求；第二問，由于直線l的斜率不知道，所以設出直線方程，設出點的坐標，聯立直線與拋物線方程，得出兩根之和，兩根之積，設出在點處的切線方程，求出交點的坐標，利用點到直線的距離公式求出的高，再求，代入到三角形面積公式中，再把兩根之和，兩根之積代入得到關于的表達式，利用配方法求最值.
試題解析：(Ⅰ)由題意知，直線的方程為，由消去解得， ．
所以．           6分
(Ⅱ)設直線l的方程為，設點，．
由消去整理得，
知， ，
又因為，所以，拋物線在點處的切線方程分別為， ．
得兩切線的交點．所以點到直線的距離為．
又因為．
設的面積為，所以（當時取到等號）．
所以面積的最小值為2．                                  14分
考點：1.直線與拋物線的位置關系；2.三角形面積公式；3.點到直線的距離公式；4.兩點間距離公式.