已知橢圓
的離心率為
，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為
．
(Ⅰ）求橢圓
的方程；
(Ⅱ）已知動直線
與橢圓相交于
、
兩點． ①若線段
中點的橫坐標為
，求斜率
的值；②若點
，求證：
為定值．
(Ⅰ)
；(Ⅱ)①
；②
.
解析試題分析：(Ⅰ)根據已知條件可設橢圓方程為：
，則有
，
，
，求解即可得到
和
的值，將對應的解代入橢圓方程即可；(Ⅱ)①將直線方程
代入橢圓方程求得，
，求得
、
兩點的橫坐標之和為
，由已知條件“
中點的橫坐標為”，得到
，從而解得
的值；
②根據①的、兩點的坐標求得
③，結合、兩點坐標滿足直線方程，將③式化簡整理得
，再由①中的根與系數的關系：，
，代入化簡即可.
試題解析：(Ⅰ)因為滿足，，，
解得
，
，
則橢圓方程為：. 3分
(Ⅱ)①將代入中得，，
，
設
，
，則，
因為中點的橫坐標為，所以，
解得. 6分
②由①知，，，
所以
. 12分
考點：1.橢圓的標準方程；2.橢圓的性質；3.方程的根與系數的關系；4.中點坐標公式；5.平面向量的數量積
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名校作業本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓
的方程為
，雙曲線
的兩條漸近線為
、
.過橢圓的右焦點
作直線
，使
，又與
交于點
，設與橢圓的兩個交點由上至下依次為
、
.
（1）若
與的夾角為
，且雙曲線的焦距為
，求橢圓的方程；
（2）求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在直角坐標系
中，已知中心在原點，離心率為
的橢圓E的一個焦點為圓
的圓心.
⑴求橢圓E的方程；
⑵設P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線
，當直線都與圓
相切時，求P點坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為
的橢圓過點
（1）求橢圓的方程；
（2）設不過原點O的直線
與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線
的斜率依次成等比數列，
求
面積的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知中心在原點的雙曲線
的一個焦點是
，一條漸近線的方程是
。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若以
為斜率的直線
與雙曲線相交于兩個不同的點
，且線段
的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為
，求
的取值范圍。
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，求曲線過點
的切線方程。
，且和直線
相切，
5，求M點的坐標．
：
．過點
的直線
交
兩點．拋物線
處的切線與在點
處的切線交于點
．
；
面積的最小值．
的焦點為
，其準線與
軸的交點為
，過
交拋物線于
兩點．
，求證：
；
的斜率分別為
，求
的值．