Question

【題目】已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，且滿足（2b﹣a）cosC=ccosA． （Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）設y=﹣4 sin2 +2sin（C﹣B），求y的最大值并判斷當y取得最大值時△ABC的形狀．

Answer 1

【答案】解：（I）∵（2b﹣a）cosC=ccosA， 由正弦定理可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，
化為：2sinBcosC=sin（C+A）=sinB，
∵sinB≠0，∴cosC= ，
∵C∈（0，π），∴C= ．
（II）y=﹣4 sin2 +2sin（C﹣B）= （1﹣cosA）+2sin =sinA+ cosA﹣2 =2 ﹣2 ，
∵A∈ ，∴ ∈ ，
∴當A+ = ，即A= 時，y確定最大值2﹣2 ，此時B= ，
因此△ABC為直角三角形．
【解析】（I）由（2b﹣a）cosC=ccosA，由正弦定理可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，利用和差關系化簡可得：cosC= ，即可得出C． （II）利用倍角公式、和差公式可得：y=2 ﹣2 ，再利用三角函數的單調性及其最值可得A，再利用三角形內角和定理即可得出．