Question

已知函數，．

（I）證明：當時，在上是增函數；

（II）對于給定的閉區間，試說明存在實數       ，當時，在閉區間上是減函數；

（III）證明：．

Answer 1

本小題主要考查二次函數，利用導數研究函數的單調性和極值，函數的最大值和最小值等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力。

（Ⅰ）證明：由題設得

    又由，即

   

    由此可知，在R上為增函數。

（Ⅱ）證法一：因為是為減函數的充分條件，所以只要找到實數k，使得t>k時，，即

在閉區間[]上成立即可

因為在閉區間[]上連續，故在閉區間[]上有最大值，設其為k，于是在t>k時，在閉區間[]上恒成立，即在閉區間[]上為減函數。

      證法二：因為是為減函數的充分條件，所以只要找到實數k，使得t>k時，，

      在閉區間[]上成立即可。

      令，則（）當且僅當

     

      而上式成立只需

      即

      成立取與中較大者記為k，易知當t>k時，在閉區間[]上恒成立，即在閉區間[]上為減函數

（Ⅲ）證法一：設，即

      ，

 易得

       

  令，則，易知，當時，>0，當時，<0。故當時，取得最小值，=1，所以

于是對任意，有，即

證法二：設,

        當且僅當

  

只需證明

        ，

即 

以下同證法一  

證法三：設，則

       

易得,當時，；當時，，故當時，取得最小值，即

 

以下同證法一 

證法四：

設點A、B的坐標分別為（）、（t,t），易知點B在直線上，令點A到直線的距離為d，則

       

以下同證法一