Question

設函數．
（1）當（為自然對數的底數）時，求的最小值；
（2）討論函數零點的個數；
（3）若對任意恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）2；（2）見解析；（3）.

解析試題分析：(1)利用導函數判斷函數的單調性，并利用單調性求函數最值；（2）利用分離參數法，將函數零點問題轉化為方程根的問題，令利用導數求函數值域，進而求出的取值范圍；
（3）由條件中的任意性，可知,利用導函數可得, 分離參數既有.
試題解析：（1）解：
當時，令，解得；令,解得。
所以在上單調遞減，在單調遞增。
即                               .      4分
解： 由，可得，要使有零點，則令,則。
令，則。
若,則；若，則.
即函數在單調遞增，值域為,在單調遞減，值域為。
大致畫出函數的圖象：

由圖可知，當或時，只有一個零點；當時，有2個零點；
當時，沒有零點。                                        10分
由（1）可知.
當對于任意恒成立，即，
所以有,即.
故                            &