Question

【題目】在三棱錐中，底面是邊長為的正三角形，點在底面上的射影恰是的中點，側棱和底面成角．

（1）若為側棱上一點，當為何值時，；

（2）求二面角的余弦值大小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）以點為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系．設，表示與，根據求；

（2）分別求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值的大小.

由題意可知底面，且，

以點為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系．因為是邊長為的正三角形，又與底面所成角為，所以，所以．

所以，，，，．

（1）設，則，所以，

．若，則，

解得，而，所以，

所以．

（2）因為，，設平面的法向量為，

則，令，則，，所以.

而平面的法向量為，

所以，又顯然所求二面角的平面角為銳角，

故所求二面角的余弦值的大小為.