Question

【題目】已知函數，．

求證：對恒成立；

若，若，，求證：

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）先對不等式左邊進行化簡整理，然后將整理后的表達式設為函數，對函數進行一階導數和二階導數的分析，得到在上單調遞增，則當時，命題得證．

（2）先對整理后的進行一階導數的分析，畫出函數大致圖象，可知，然后采用先取對數然后作差的方法比較大小，關鍵是構造對數平均數，利用對數平均不等式即可證明．

證明：由題意，可知

．

令，則

，，

當時，，

在上單調遞增．

當時，，

在上單調遞增．

當時，．

故命題得證．

由題意，，．

，．

令，解得；

令，解得；

令，解得．

在上單調遞減，在上單調遞增，

在處取得極小值．

大致圖象如下：

根據圖，可知，．

，，

根據對數平均不等式，有

，

．

，

．

故得證．