Question

【題目】已知，其中.

（1）若，且曲線在處的切線過原點，求直線的方程；

（2）求的極值；

（3）若函數有兩個極值點， ，證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;

（Ⅱ）見解析

（Ⅲ）見解析.

【解析】試卷分析：（Ⅰ）當a=0時，求得f（x）的解析式和導數，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；（Ⅱ）求得f（x）的導數，可得有兩個不同的實根，討論當a≤0時，當a>0時，判斷單調性可得極大值大于0，解不等式即可得到所求范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）知當且時，有兩個極值點，， ，構造函數對不等式進行證明；

試卷解析：

（Ⅰ）當時，，，

所以切線的斜率，又直線過原點，所以，

由得，.

所以，故切線的方程為，即.

（Ⅱ）由 ，可得，

①當時 ， ，在上單調遞增，在上單調遞減，

在時取到極小值，且，沒有極大值；

②當時 或， .在，上單調遞增，

在上單調遞減，在時取到極大值，

且，在時取到極小值，且；

③當時恒成立，在上單調遞增，沒有極大值也沒有極小值；

④當時 或， ，在，上單調遞增，

在上單調遞減，在時取到極小值，且.在時取到極大值，且.

綜上可得，當時，在時取到極小值，沒有極大值；

當時，在時取到極大值，在時取到極小值；

當時，沒有極大值也沒有極小值；當時，在時取到極小值.

在時取到極大值.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知當且時，有兩個極值點，，

且 .

所以 ，

設，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增，

由且可得，所以 ，

即 .