Question

【題目】如圖，一段南北兩岸互相平行、寬度為的景觀河.靠南岸水域有一半徑為半圓形親水平臺(tái)，圓心在南岸邊上，北岸邊有一風(fēng)雨亭（底座大小忽略不計(jì)），風(fēng)雨亭距位于北岸邊上的點(diǎn)（在的正北方，在的右側(cè)）.為了方便市民休閑，現(xiàn)決定修建折線型步行棧道（圖中粗線所示），其中與圓相切，段的造價(jià)為4萬元/，段和段分別在南北兩岸邊上（其中為半圓的一條直徑的左端點(diǎn)），段和段的造價(jià)都為2萬元/.記為，.

（1）若，求棧道段的長；

（2）設(shè)三段棧道總造價(jià)為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）萬元.

【解析】

（1）設(shè)直線與圓切于，過做，垂足為，，在中分別求出，即可求解；

（2）由（1）得，在中，求出，求出總造價(jià)，根據(jù)函數(shù)特征，利用導(dǎo)數(shù)法求出極小值，進(jìn)而求出其最小值.

（1）設(shè)直線與圓切于，過做，垂足為，

在中，，

在中，，

，

當(dāng)時(shí)，；

（2）由（1）得，，

在中，，

令，當(dāng)單調(diào)遞減，

當(dāng)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，

此時(shí)，

最小值為萬元.