Question

【題目】在三棱錐中，，側棱與底面所成的角為，則該三棱錐外接球的體積為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

過點P作PH⊥平面ABC于H，可得∠PAH是直線PA與底面ABC所成的角，得．由PA=PB=PC，得外接球心O必定在PH上，連接OA，可得△POA是底角等于30°的等腰三角形，從而得到外接球的半徑R=OA=1，再用球的體積公式可得該三棱錐外接球的體積．

過點P作PH⊥平面ABC于H，

∵AH是PA在平面ABC內的射影，

是直線PA與底面ABC所成的角，得，

中， ，，

設三棱錐外接球的球心為O，

∵PA=PB=PC，

∴P在平面ABC內的射影H是的外心

由此可得，外接球心O必定在PH上，連接OA、OB、OC，

中，OP=OA，

∴∠OAP=∠OPA=30°，可得

∴三棱錐外接球的半徑R=OA=1

因此該三棱錐外接球的體積為.

故答案為：.