Question

已知橢圓C：的左、右焦點分別為F₁，F₂，O為原點．
（I）如圖①，點M為橢圓C上的一點，N是MF₁的中點，且NF₂丄MF₁，求點M到y軸的距離；
（II）如圖②，直線l：：y=k+m與橢圓C上相交于P，G兩點，若在橢圓C上存在點R，使OPRQ為平行四邊形，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓方程求出兩個焦點的坐標，設出M點的坐標，由中點坐標公式求出N點的坐標，則有兩向量的坐標，根據NF₂丄MF₁，由它們對應的數量積等于0即可求得M點的坐標，則點M到y軸的距離；
（Ⅱ）設出P，Q點的坐標，根據OPRQ為平行四邊形，把R的坐標用P，Q點的坐標表示，然后把替換后的R的坐標代入橢圓方程，再由直線方程和橢圓方程聯立，利用根與系數關系求出兩點P，Q的橫坐標之和，代入上面的方程即可得到m與k的關系，由此可以求出m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由a²=2，b²=1，所以c²=a²-b²=1，所以c=1，則F₁（-1，0），F₂（1，0）
設M（x，y），則MF₁的中點為，
，．
∵MF₁⊥NF₂，∴，即，
∴    （1）
又有  （2）
由（1）、（2）解得或（舍去）
所以點M 到y軸的距離為．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），
∵OPRQ為平行四邊形，∴x₁+x₂=x_R，y₁+y₂=y_R．
∵R點在橢圓上，∴，即，
即，
化簡得，  （3）．
由，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
由△＞0，得2k²+1＞m²  （4），
且．                          
代入（3）式，得，
化簡得4m²=1+2k²，代入（4）式，得m≠0．
又4m²=1+2k²≥1，解得或．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了平面向量在解析幾何中的應用，訓練了整體代換思想，訓練了學生的計算能力，特別是（Ⅱ）中的坐標轉換是解決該題的關鍵所在．此題屬于難題．