Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，圓M經(jīng)過原點O且與x軸y軸分別相交于A（-6，0），B（0，-8）兩點，若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經(jīng)過點M，頂點C在圓M上，開口向下，且經(jīng)過B．
（1）求此拋物線的函數(shù)解析式，且設拋物線交x軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得S_△PDE=

1

10

S_△ABC，若存在，請求出點P的坐標；
（2）在拋物線上找點F使∠AFB為銳角，直接寫出F的橫坐標范圍；
（3）求出△ABO內(nèi)切圓的圓心坐標；
（4）求圓心在拋物線的對稱軸上，且與直線AB和x軸都相切的圓的半徑是多少？
（5）求過C、D、E三點外接圓的半徑．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,直線與圓的位置關系

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）運用待定系數(shù)法求出圓M的方程，再求出圓心M，設出拋物線的方程y=a（x+3）²+1，代入B（0，-8），求得a，在拋物線上假設存在點P，使得S_△PDE=

1

10

S_△ABC，設P（s，-s²-6s-8），運用面積公式，得到s的方程，解得即可；
（2）設F（n，-n²-6n-8），∠AFB為銳角則有

AF

•

BF

＞0，即有n（n+6）+（n²+6n）（n²+6n+8）＞0，解得，n＞0或n＜-6；
（3）求出直角三角形ABO的三邊長，再由等積法，即可得到半徑r，進而得到圓心的坐標；
（4）設所求圓心為（-3，b），半徑為R，根據(jù)條件，運用點到直線的距離公式，列出方程，解方程得到b，即可；
（5）求出三角形CDE的三邊長，判斷形狀，即可得到所求圓的半徑．

解答： 解：（1）圓M：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則F=0，36-6D=0，64-8E=0，解得，D=6，E=8，F(xiàn)=0，即圓M：x²+y²+6x+8y=0，
M（-3，-4）．則對稱軸為x=-3，頂點C為（-3，1），
設拋物線的解析式為y=a（x+3）²+1，代入B（0，-8），解得，a=-1．
則有拋物線方程：y=-x²-6x-8．易得D（-4，0），E（-2，0），
在拋物線上假設存在點P，使得S_△PDE=

1

10

S_△ABC，設P（s，-s²-6s-8），
則S_△PDE=

1

2

×2×|s²+6s+8|=|s²+6s+8|
設BC與x軸交于S，由BC：y=-3x-8，令y=0，求得，x=-

8

3

．
則S_△ABC=

1

2

×（8+1）×（6-

8

3

）=15，
由S_△PDE=

1

10

S_△ABC，解得，s=

-6± 10

2

，
即存在點P（

-6+ 10

2

，-1.5），或（

-6- 10

2

，-1.5）；
（2）F的橫坐標范圍是（-∞，-6）∪（0，+∞）；
（3）在直角三角形ABO中，|AB|=10，|AO|=6，|BO|=8，
則設內(nèi)切圓的半徑為r，則

1

2

r（6+8+10）=

1

2

×6×8，解得，r=2，
則△ABO內(nèi)切圓的圓心坐標為（-2，-2）；
（4）設所求圓心為（-3，b），半徑為R，則R=|b|，
直線AB：4x+3y+24=0，由d=R，即有

|-12+3b+24|

16+9

=R，
解得，b=6或-

3

2

，
則所求圓的半徑是6或

3

2

；
（5）由于C（-3，1），D（-4，0），E（-2，0），
由|CD|=

2

=|CE|，|DE|=2，
可知，三角形CDE為等腰直角三角形，DE為斜邊，
則所求外接圓的半徑為1．

點評：本題考查拋物線的解析式的求法，圓的方程的求法，考查直線和圓相切的條件、三角形的內(nèi)切圓和外接圓的半徑的求法，考查直線方程的運用，以及兩點的距離和點到直線的距離的公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．