Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且S_n=2a_n+n-4（n∈N^*）．
（1）去數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

2n

anan+1

，記T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，證明：T_n＜

1

3

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（1）運用n=1時，a₁=S₁，當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，得到a_n=2a_n-1-1，再構造等比數(shù)列，即可得到通項；
（2）化簡b_n，寫成差的形式，再由裂項相消求和，即可得到不等式成立．

解答： （1）解：由于S_n=2a_n+n-4（n∈N^*），
則n=1，時，a₁=S₁=2a₁+1-4，解得，a₁=3，
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+n-4-（2a_n-1+n-1-4）
則有a_n=2a_n-1-1，
則令a_n+t=2（a_n-1+t），即有t=-1，
則a_n-1=（a₁-1）•2^n-1=2ⁿ，則有a_n=2ⁿ+1；
（2）證明：b_n=

2n

anan+1

=

2n

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

2n+1

-

1

2n+1+1

=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

．
故T_n＜

1

3

．

點評：本題考查數(shù)列的通項和前n項和的關系，考查構造等比數(shù)列求通項的方法，考查數(shù)列求和的方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．