Question

如圖，A，B是函數y=a^x（a＞1）在y軸右側圖象上的兩點，分別過A，B作y軸的垂線與y軸交于E，F兩點，與函數y=e^x的圖象交于C，D兩點，且A是CE的中點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）當直線BC與y軸平行時，設B點的橫坐標為x，四邊形ABDC的面積為f（x），求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若對任意的正數b，關于x的不等式

2f(x)

ex-1

＜3exln

xb

em

在區間[1，e]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設A點坐標為（x，a^x），根據A是CE的中點，CE垂直于y軸，可得a^x=e^2x，進而根據指數的運算性質得到a的值；
（Ⅱ）當直線BC與y軸平行時，BC兩點的橫坐標相等，四邊形ABDC為梯形，代入梯形面積公式，可得f（x）的解析式；
（Ⅲ）關于x的不等式

2f(x)

ex-1

＜3exln

xb

em

在區間[1，e]上恒成立，即m＜blnx-

x

2

在區間[1，e]上恒成立，構造函數后，將問題轉化為函數的最值問題，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）設A點坐標為（x，a^x），
∵A是CE的中點，
∴C點坐標為（2x，e^2x），
又∵CE垂直于y軸，
∴a^x=e^2x，
即a=e²，…（4分）
（Ⅱ）由已知可設A，B，C，D各點的坐標分別為，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₁），D（x₄，y₂）
當直線BC與y軸平行時，有x₂=x₃=2x₁=x，x₄=2x₂=4x₁=2x，
∴f（x）=

1

2

[（x₃-x₁）+（x₄-x₂）]（y₂-y₁）=

3x

4

（e^x-1）e^x，（x＞0）
（III）若不等式

2f(x)

ex-1

＜3exln

xb

em

在區間[1，e]上恒成立，
則m＜blnx-

x

2

在區間[1，e]上恒成立，
令h（x）=blnx-

x

2

，則h′（x）=

2b-x

2x

（x＞0）
當x∈（0，2b）時，h′（x）＞0，h（x）是增函數；
當x∈（2b，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）是減函數；
（1）當0＜2b≤1，即0＜b≤

1

2

時，h（x）在區間[1，e]上是減函數；
故當x=e時，h（x）取最小值b-

e

2

（2）當1＜2b＜e，即

1

2

＜b＜

e

2

時，h（x）在區間[1，2b]上是增函數，在[2b，e]上是減函數；
又由h（1）=-

1

2

，h（e）=b-

e

2

，h（1）-h（e）=

e

2

-

1

2

-b
故①若

1

2

＜b＜

e

2

-

1

2

，則當x=e時，h（x）取最小值b-

e

2

，
故②若

e

2

-

1

2

＜b＜

e

2

，則當x=1時，h（x）取最小值-

1

2

，
（3）當2b≥e，即b≥

e

2

時，h（x）在區間[1，e]上是增函數；
故當x=1時，h（x）取最小值-

1

2

，
綜上區間[1，e]上，h（x）_min=

b- e 2 ，0＜b≤ e 2 - 1 2 - 1 2 ，b＞ e 2 - 1 2

故當0＜b≤

e

2

-

1

2

時，m＜b-

e

2

，當b＞

e

2

-

1

2

時，m＜-

1

2

又∵對任意正實數bm＜blnx-

x

2

在區間[1，e]上恒成立，
故m≤-

e

2

即實數m的取值范圍為（-∞，-

e

2

]

點評：本題考查的知識點是利用研究函數的單調性，函數恒成立問題，構造新函數，將恒成立問題轉化為求函數最值問題，是解答此類問題的常用方法．