Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點．
（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小為30°，求AB的長．

Answer 1

【答案】解：（I）以A為原點， ， ， 的方向為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，
設AB=a，則A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E（ ，1，0），B1（a，0，1）
故 =（0，1，1）， =（﹣ ，1，﹣1）， =（a，0，1）， =（ ，1，0），
∵ =1﹣1=0
∴B1E⊥AD1；
（II）假設在棱AA1上存在一點P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE．此時 =（0，﹣1，t）．
又設平面B1AE的法向量 =（x，y，z）．
∵ ⊥平面B1AE，∴ ⊥B1A， ⊥AE，得 ，取x=1，得平面B1AE的一個法向量 =（1，﹣ ，﹣a）．
要使DP∥平面B1AE，只要 ⊥ ，即有 span> =0，有此得 ﹣at=0，解得t= ，即P（0，0， ），
又DP平面B1AE，
∴存在點P，滿足DP∥平面B1AE，此時AP=
（III）連接A1D，B1C，由長方體ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1，得AD1⊥A1D．
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．
由（I）知，B1E⊥AD1 ， 且B1C∩B1E=B1 ．
∴AD1⊥平面DCB1A1 ，
∴ 是平面B1A1E的一個法向量，此時 =（0，1，1）．
設 與 所成的角為θ，則cosθ= =
∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小為30°，
∴|cosθ|=cos30°= ，即| |= ，解得a=2，即AB的長為2

【解析】（Ⅰ）由題意及所給的圖形，可以A為原點， ， ， 的方向為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系，設AB=a，給出圖形中各點的坐標，可求出向量 與 的坐標，驗證其數量積為0即可證出兩線段垂直．（II）由題意，可先假設在棱AA1上存在一點P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE，求出平面B1AE法向量，可法向量與直線DP的方向向量內積為0，由此方程解出t的值，若能解出，則說明存在，若不存在符合條件的t的值，說明不存在這樣的點P滿足題意．（III）由題設條件，可求面夾二面角的兩個平面的法向量，利用兩平面的夾角為30°建立關于a的方程，解出a的值即可得出AB的長
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關系和直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．