Question

（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，已知點，P是動點，且三角形的三邊所在直線的斜率滿足．
（Ⅰ）求點P的軌跡的方程；
（Ⅱ）若Q是軌跡上異于點的一個點，且，直線與交于點M，試探
究：點M的橫坐標是否為定值？并說明理由．

Answer 1

（1）（且）；（2）點M的橫坐標為定值．

第一問利用已知的斜率關系式，設點的坐標代入即可得到軌跡方程。
第二問中，由由可知直線，則，然后設出點P,Q的坐標，然后表示一個關系式，然后利用由三點共線可知，同理得到關系式，聯立解得。
解：（Ⅰ）設點為所求軌跡上的任意一點，則由得

，　　…………2分
整理得軌跡的方程為（且），                    …………4分
（Ⅱ）設，
由可知直線，則，
故，即，　　…………6分
由三點共線可知，與共線，
∴　，
由（Ⅰ）知，故，              …………8分
同理，由與共線，
∴　，即，
由（Ⅰ）知，故，                  …………10分
將，代入上式得，
整理得，
由得，即點M的橫坐標為定值．         ………………………12分
（方法二）
設
由可知直線，則，
故，即，　　                         …………6分
∴直線OP方程為：   ①；　                        　 …………8分
直線QA的斜率為：，　　            
∴直線QA方程為：，即  ②；……10分
聯立①②，得，∴點M的橫坐標為定值．　  ………………………12分