Question

（本小題滿分13分）如圖，橢圓的焦點在軸上，左、右頂點分別為、，上頂點為，拋物線、分別以、為焦點，其頂點均為坐標原點，與相交于直線上一點.
（Ⅰ）求橢圓及拋物線、的方程；
（Ⅱ）若動直線與直線垂直，且與橢圓交于不同的兩點、,已知點，求的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓C:，拋物線C₁：拋物線C₂：；
（Ⅱ）其最小值等于 .

(1)根據點P是三條曲線的交點，利用方程組可解出P點坐標及a的值。
（2）設直線方程為，然后與橢圓方程聯立，消y得一元二次方程利用違達定得代入可建立關于b的方程，解出b再驗證判斷式即可。
解：（Ⅰ）由題意，A（，0），B（0，），故拋物線C₁的方程可設為，C₂的方程為…………………………1分
由  得…………………………3分
所以橢圓C:，拋物線C₁：拋物線C₂：…………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線OP的斜率為，所以直線的斜率為
設直線方程為
由，整理得…………………… 6分
因為動直線與橢圓C交于不同兩點，所以
解得              …………………………7分
設M（）、N（），則
……8分
因為
所以
………………………… 11分
因為，所以當時，取得最小值
其最小值等于…………………………13分